Bangun Datar dan Bangun Ruang(Matematika X) ~ Nurfhadealha

BANGUN DATAR

Ø PERSEGI EMPAT

Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk

(a)

yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Persegi dulu disebut sebagai bujur sangkar.

Sifat-sifat persegi
     a. Semua sisi persegi adalah sama panjang.
     b. Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonaldiagonalnya.
     c. Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk
           sudut siku - siku
     d. Mempunyai 4 sumbu simetri
     e. Menempati bingkainya dengan 8 cara

Rumus persegi

Persegi dengan rusuk a dan diameter d

Keliling

k=4.a

Luas

L= a²

Panjang diagonal

$d = a\cdot \sqrt{2}$

Ø PERSEGI PANJANG

Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.
Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang $(p)$ dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar $(l)$ .
Persegi panjang yang keempat rusuknya sama panjang disebut sebagai persegi

Sifat-sifat persegi panjang
a. Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi yang berhadapan sama panjang dan
        sejajar.
b. Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut sikusiku (90⁰).
  c. Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan membagi dua sama besar.
  d. Dapat menempati bingkainya kembali dengan empat cara.
  e. Mempunyai 2 simetri lipat / sumbu simetri

Rumus persegi panjang

Keliling

$K = 2\cdot (p + l)$
k : keliling2156 p : panjang l : lebar

Luas

$L = p\cdot l$

Panjang diagonal

$d = \sqrt{p^2 + l^2}$

Ø SEGITIGA

Segitiga adalah suatu bangun datar yang jumlah sudutnya 1800 dan dibentuk dengan cara

menghubungkan tiga buah titik yang tidak segaris dalam satu bidang.

Jenis-jenis Segitiga :

a. Segitiga Sama Sisi

Segitiga yang ketiga sisinya sama panjang

Panjang AB = BC =CA

∠A = ∠B = ∠C = 600

∠A + ∠B + ∠C = 1800

b. Segitiga Sama Kaki

Segitiga yang mempunyai dua sudut yang sama dan dua buah sisi yang sama.

Panjang AC = CB

Sudut ∠ A = ∠B

∠A + ∠B + ∠C = 1800

c. Segitiga Siku-siku

Segitiga yang salah satu sudutnya 900

∠A = 900

c. Segitiga Sembarang

- Ketiga sisinya tidak sama panjang ( AB ≠ BC≠ AC )

- Ketiga sudutnya tidak sama besar ( ∠A ≠ ∠B ≠ ∠ C )

- ∠A + ∠B + ∠C = 1800

Rumus Segitiga
Luas = ½ x a x t
dengan a = panjang alas segitiga, dan t = tinggi segitiga
Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A² + B² = C²)

Ø JAJAR GENJANG

Jajar genjang atau Jajaran genjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.

Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.

AB sejajar CD ( AB CD )AD sejajar BC ( AD BC )

sisi yang sejajar sama panjang A B AB = CD ; AD = BC

Sudut ∠ A = ∠C ∠ B = ∠D

Rumus jajar genjang

Keliling

$K = 2\cdot alas + 2\cdot sisi miring$

Luas

$L = jumlah dua sisi sejajar \cdot tinggi$

Ø TRAVESIUM

Trapesium adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua diantaranya saling sejajar namun tidak sama panjang.

Trapesium termasuk jenis bangun datar segi empat.

Trapesium yang rusuk ketiganya tegak lurus terhadap rusuk-rusuk sejajar disebut trapesium siku-siku.

Jenis-jenis travesium

Trapesium terdiri dari 3 jenis, yaitu:

Trapesium sembarang, yaitu trapesium yang keempat rusuknya tidak sama panjang. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat maupun simetri putar.

2. Trapesium sama kaki, yaitu trapesium yang mempunyai sepasang rusuk yang sama panjang, di samping mempunyai sepasang rusuk yang sejajar. Trapesium ini memiliki satu simetri lipat dan satu simetri putar.

Trapesium siku-siku, yaitu trapesium yang mana dua di antara keempat sudutnya merupakan sudut siku-siku. Rusuk-rusuk yang sejajar tegak lurus dengan tinggi trapesium ini.

Rumus trapesium

Keliling

K = jumlahdarikeempatsisiyangada

Luas

$L = \frac{JumlahRusukSejajar.tinggi}{2}\,$

Ø LAYANG - LAYANG

Layang-layang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut.

Layang-layang dengan keempat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.

Rumus Layang-layang

Keliling

$K = 2\cdot s_1 + 2\cdot s_2$

Luas

$L= \tfrac{1}{2} \cdot d_1\cdot d_2$

Ø BELAH KETUPAT

Belah ketupat adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.

Belah ketupat dapat dibangun dari dua buah segitiga sama kaki identik yang simetri pada alas-alasnya.

Rumus belah ketupat

Keliling

$K = 4\cdot s$

Luas

$L = \tfrac{1}{2} \cdot d1 \cdot d2$

LINGKARAN

Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

BAGIAN-BAGIAN LINGKARAN

Jari-jari lingkaran
Ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebarang titik pada lingkaran

Busur Lisngkaran
Garis lengkung yang melalui titik-titik pada lingkaran

Tali Busur
Ruas garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada lingkaran

4. Diameter / Garis Tengah
Tali busur yang melalui pusat lingkaran. Panjang diameter sebuah lingkaran sama dengan dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut.

Juring Lingkaran
Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan dua buah jari-jari lingkaran yang melalui ujung busur lingkaran tersebut

Tembereng
Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur yang melalui kedua ujung busur lingkaran

7. Apotema
Ruas garis terpendek yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebuah titik pada tali busur.

Suatu lingkaran memiliki persamaan

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!$

dengan $R\!$ adalah jari-jari lingkaran dan $(x_0,y_0)\!$ adalah koordinat pusat lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

$x = x_0 + R \cos(t) \!$

$y = y_0 + R \sin(t) \!$

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran memiliki rumus

$A = \pi R^2 \!$

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

$dA = rd\theta\ dr$

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

$A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!$

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam $R_1\!$ dan jari-jari luar $R_2\!$ , yaitu

$A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!$

di mana untuk $R_1 = 0\!$ rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

$A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!$

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

$L = 2\pi R\!$

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

$L = R \theta \!$

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

$dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!$

di mana digunakan

$y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!$

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda $\pm$ mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

Pi atau π

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

$\pi = \frac K D$

Ø KUBUS

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar. Kubus memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Kubus juga disebut bidang enam beraturan, selain itu juga merupakan bentuk khusus dalam prisma segiempat.

Ciri-ciri Kubus :

1. Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur sangkar(ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,)

2. Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H)

3. Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang (AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, AD, BC, EH, FG)

4. Semua sudutnya siku-siku

Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang(4 diagonal ruang = garis AG, BH, CE, DF12 diagonal bidang = garis AC,BD,EG,FH,AH,DE,BG,CF,AF,BE,CH,DG)

Volume (V) = s x s x s = s3

Luas (L) = 6 x s x s = 6 s2

Keliling = 12 x s

Panjang diagonal bidang = s2 + s2 = 2s2 = s 2

Panjang diagonal ruang = s2 + s2 + s2 = 3s2 = s 3

Ø BALOK

Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang, dengan paling tidak satu pasang diantaranya berukuran berbeda. Balok memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Balok yang dibentuk oleh enam persegi sama dan sebangun disebut sebagai kubus.

Panjang $(p)$ adalah rusuk terpanjang dari alas balok.
Lebar $(l)$ adalah rusuk terpendek dari sisi alas balok.
Tinggi $(t)$ adalah rusuk yang tegak lurus terhadap panjang dan lebar balok.

Ciri-ciri Balok :

1. Alasnya berbentuk segi empat

2. Terdiri dari 12 rusuk

3. Mempunyai 6 bidang sisi

4. Memiliki 8 titik sudut

5. Seluruh sudutnya siku-siku

6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang

Volume = p x l x t

Luas = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt) }

Keliling = 4 x (p+ l + t)

Panjang diagonal ruang

$d_R = \sqrt{(p^2+l^2+t^2)}$
Panjang diagonal bidang
$d_{B1} = \sqrt{(p^2+l^2)}$
$d_{B2} = \sqrt{(p^2+t^2)}$

Luas bidang diagonal

$L_{B1} = d_{B1}\cdot t$
$L_{B2} = d_{B2}\cdot l$
$L_{B3} = d_{B3}\cdot p$

Ø TABUNG

Dalam geometri, tabung atau silinder adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut. Tabung memiliki 3 sisi dan 2 rusuk.

Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.

Ciri-ciri :

1. Mempunyai 2 bidang sisi(1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)

2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut

Ada dua sisi, yaitu sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukuran serta sejajar, masing-masing berbentuk lingkaran yang berpusat di A dan D.

Jarak alas dan tutup disebut tinggi tabung. Tinggi tabung dinotasikan dengan t.

Jari-jari lingkaran dari alas dan tutup adalah AB, sedangkan diameter nya BB' =2AB.

Jari-jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d

Selimut tabung merupakan bidang lengkung.

Unsur-unsur Tabung
Tabung memiliki 2 rusuk dan 3 sisi.

Jaring-jaring Tabung

Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:

a. dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,

satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.

Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.

Jaring-jaring tabung terdiri atas:

a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.

b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.

. Luas dan volume tabung
•Luas permukaan tabung atau luas tabung:

Luas selimut $L = 2 \pi r \cdot t$

Luas permukaan
L = luas sisi alas + luas sisi tutup + luas selimut
      tabung
= π r² + π r² + 2 π r t

   = 2 π r² + 2 π r t
   = 2 π r (r + t)

•Luas tabung tanpa tutup :
L_{tanpa tutup}= luas sisi alas + luas selimut
               = π r² + 2 π r t
•Volume tabung :
V = luas alas x tinggi
   = π r² x t
   = π r²t

Ø KERUCUT

Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi dan 1 rusuk.
Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.

Ciri-ciri :

1. Mempunyai 2 bidang sisi(1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)

2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut

Unsur-unsur kerucut adalah sebagai berikut.

Sisi alas berbentuk lingkaran berpusat di titik A.
AC disebut tinggi kerucut.
Jari-jari lingkaran alas, yaitu AB dan diameternya BB' = 2AB.
Sisi miring BC disebut apotema atau garis pelukis.
Selimut kerucut berupa bidang lengkung.
Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .

Luas dan volume kerucut

Luas permukaan kerucut atau luas kerucut :
L = luas sisi alas + luas selimut kerucut
= π r² + π r s
= π r (r + s)

Volume kerucut :
V = 1/3 x luas alas x tinggi
= 1/3 x π r² x t
= 1/3 π r²t

PRISMA

Dalam geometri, prisma adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Dengan kata lain prisma adalah bangun ruang yang mempunyai penampang melintang yang selalu sama dalam bentuk dan ukuran.

Limas dengan alas dan tutup berbentuk persegi disebut balok sedangkan prisma dengan alas dan tutup berbentuk lingkaran disebut tabung.

Rumus Prisma

Luas permukaan

Luas permukaan prisma dengan alas dan tutup segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:
Text Box:

$L = 2 \cdot Luas Alas + Keliling Alas \cdot t$

Volume

$V = Luas Alas \cdot t$

LIMAS

Dalam geometri, limas adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga.

lingkaran.Kerucut dapat disebut sebagai limas dengan alas berbentuk Limas dengan alas berupa persegi disebut juga piramida.

Ciri khas limas adalah memiliki bagian runcing di bagian atasnya sebagai titik puncak.

Limas segitiga

Ciri-ciri :

1. Alasnya berbentuk segitiga

2. Mempunyai 4 bidang sisi (alas dan 3 sisi tegak)

3. Mempunyai 6 rusuk

4. Mempunyai 4 titik sudut

Limas segiempat

Ciri-ciri :

1. Alasnya berbentuk segiempat (BCDE)

2. Mempunyai 5 bidang sisi(BCDE, ABC, ACD,ABEADE)

3. Mempunyai 5 titik sudut ( A, B,C,D,E)

4. Mempunyai 8 rusuk (AB, AC,AD,AE,BC,CD,DE,BE)

Luas permukaan

Luas permukaan limas dengan alas segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:

$L = Luas Alas + n\cdot Luas Sisi Tegak$

Volume

$V = \frac{1}{3}\cdot Luas Alas \cdot t$

BOLA

Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.

Ciri-ciri :

1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi

2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk

Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:

Nurfhadealha

Rabu, 04 April 2012